Los teoremas de Sylow

Abstract

Sabemos por el Teorema de Lagrange que el orden de un subgrupo de un grupo finito G debe ser un divisor del orden de G, pero esta condición es solo necesaria. Los Teoremas de Sylow afirman que si ese divisor es una potencia de primo la condición también es suficiente. Además, proporciona resultados no triviales sobre la cantidad de estos grupos. En este trabajo, estudiamos las herramientas necesarias para probar estos teoremas, así como algunas de sus aplicaciones, como puede ser la clasificación de algunos grupos sencillos de orden dado. También estudiamos conceptos como el de grupo resoluble o nilpotente o los grupos simples. Concluimos la memoria con el Teorema de Bursnide, que restringe las posibilidades de que un grupo sea no resoluble.

Lagrange’s theorem asserts that the order of a subgroup of a finite group G is a divisor of the order of G. However, this is only a necessary condition. Sylow theorems prove that if the divisor is a primer power the condition is also sufficient. Moreover, they provide nontrivial results about the number of such subgroups. We study the tools needed to prove these theorems and we apply them to show some results like the classification of some groups of given small order. Some notions about group such as simple, solvable or nilpotent group are also studied. We finish with Bursnide’s theorem, that restricts the order of a non solvable group.