Curvas en el plano hiperbólico

Abstract

En este trabajo se pretenden estudiar algunas curvas notables de la geometría hiperbólica. Para ello, veremos el semiplano de Poincaré como una variedad diferenciable con una métrica riemanniana. En este modelo calcularemos la curvatura del plano hiperbólico y también veremos como son las geodésicas en él. Utilizando las transformaciones de Möbius veremos las isometrías del semiplano de Poincaré, lo que dará estructura al espacio y facilitará analizar las propiedades de las curvas que se pretenden estudiar. Por último se verá la forma y se calculará la curvatura de las circunferencias, los horociclos y los hiperciclos del semiplano. Se concluirá clasificando las geodésicas, los hiperciclos, los horociclos y las circunferencias en curvas de curvatura nula, curvatura entre cero y uno, curvatura constante igual a uno y mayor que uno respectivamente.

This works aims to study some notable curves in hyperbolic geometry. In order to do this, we will study the Poincaré half plane as a diferentiable manifold with a riemannian metric. In this model we will calculate the curvature of the hyperbolic plane and we will also describe the geodesics in it. Using Möbius transformations, we will learn about the isometrıes in Poincaré’s half plane, this will help us understand the structure of the half plane, facilitating the study of the properties of the curves. Finally, we will observe the shape and compute the curvature of the hypercycles, horocycles, and circles in the half plane. We will conclude by classifying the geodesics, hypercycles, horocycles, and circles as curves with null curvature, curvature between zero and one, constant curvature equal to one and curvature greater than one respectively.