Divisores en grafos y chip-firing games

Abstract

En esta memoria seguiremos principalmente el artículo [BN07]. El trabajo consiste en una adaptación de la teoría de divisores sobre superficies de Riemann al caso de grafos. En particular, conceptos como divisor, equivalencia lineal, sistema lineal, divisor canónico o el Teorema de Riemann-Roch son adaptados al caso de grafos. En este caso, los divisores son sumas formales de los vértices del grafo y, por tanto, los grupos involucrados van a ser finitamente generados. Lo que es una simplificación del caso clásico ya que podemos hacer cálculos de manera más directa. También estudiamos los llamados chip-firing games, que son juegos de un jugador sobre un grafo. El teorema de Riemann-Roch se interpreta en este contexto como condiciones para la existencia de soluciones de este juego.

This project consists in an adaptation of the theory of divisors over a Riemann surface to graphs following the paper [BN07]. In particular, concepts such as divisor, linear equivalence, linear systems, canonical divisor and the Riemann-Roch theorem are translated to the graph case. In this context, divisors are formal sums over the vertices of the graph. Thus, the groups involved are finitely generated. This is a simplification with respect to the classical case since we can perform computations in a simpler way. We also study chip-firing games, these are one-player games over a graph. In this context, Riemann-Roch theorem is interpreted as conditions for the existance of winning strategies.