Geometría convexa y equilibrio en subastas

Abstract

En teoría económica una subasta es un proceso en el que el subastador ofrece un cierto número de “paquetes” y varios agentes establecen sus ofertas e intereses sobre los mismos. El subastador debe entonces buscar un “equilibrio competitivo” en el que se consiga satisfacer de la mejor manera posible los intereses de todos los agentes. Una de las maneras de abordar este problema pasa por técnicas de Combinatoria Geométrica y Geometría Convexa: se trata de buscar una triangulación del “espacio de demanda” con ciertas propiedades. En este trabajo se hace primero una introducción a la teoría de politopos, triangulaciones y subdivisiones mixtas, para luego explicar su relación con el problema de subastas y demostrar el Teorema de Unimodularidad del Equilibrio de Walras, que garantiza la existencia de solución del problema siempre que las funciones de valoración dadas por los agentes cumplan ciertas propiedades de unimodularidad.

In economic theory, an auction is a process in which an auctioneer presents a set of “packages”, and various agents submit their bids and interests for these packages. The auctioneer’s goal is to find a “competitive equilibrium” that maximizes the satisfaction of all participating agents. One way to approach this problem involves techniques from Geometric Combinatorics and Convex Geometry. Specifically, it entails finding a triangulation of the “demand space” with specific properties. This work first provides an introduction to the theory of polytopes, triangulations and mixed subdivisions. It then explains their relationship with the auction problem and proves the Unimodularity Theorem of Walras’ Equilibrium, which guarantees the existence of a solution to the problem as long as the valuation functions provided by the agents satisfy certain unimodularity properties.