Curvas planas con hodógrafo pitagórico

Abstract

The hodograph of a plane parametric curve r(t) = (x(t), y(t)) is the locus described by its derivative r′(t) = (x′(t), y′(t)). A polynomial parametric curve has a Pythagorean hodograph if there exists a polynomial σ(t) such that x’²(t) + y’²(t) = σ² (t), that is, if (x′(t), y′(t), σ(t)) is a Pythagorean triple. Although they have fewer degrees of freedom than general polynomial curves, and therefore a less flexible design, Pythagorean-hodograph curves possess attractive attributes for practical use, especially in the context of computer-aided design (CAD). For example, it is possible to calculate its arc length exactly and compute its offset (parallel) curves without the need for approximations. In this paper, Pythagorean-hodograph curves (or, abbreviated, PH curves) will be studied. Sufficient and necessary conditions will be presented for the algebraic characterization of these curves, their construction in terms of the Bernstein-Bézier form and some useful properties in various applications.

El hodógrafo de una curva paramétrica plana r(t) = (x(t), y(t)) es el lugar geométrico descrito por su derivada r′(t) = (x′(t), y′(t)). Una curva paramétrica polinomial tiene un hodógrafo pitagórico si existe un polinomio σ(t) tal que x′²(t)+y′² (t) = σ² (t), es decir, si (x′(t), y′(t), σ(t)) es una terna pitagórica. Aunque tienen menos grados de libertad que las curvas polinomiales generales y, por lo tanto, un diseño menos flexible, las curvas de hodógrafo pitagórico poseen atributos atractivos para su uso práctico, especialmente en el marco del diseño asistido por ordenador (CAD). Por ejemplo, es posible calcular su longitud de arco exactamente y computar sus curvas offset (paralelas) sin necesidad de aproximaciones. En este trabajo se estudiarán las curvas con hodógrafo pitagórico (o, abreviadamente, curvas PH). Se presentarán condiciones suficientes y necesarias para la caracterización algebraica de estas curvas, su construcción en términos de la forma de Bernstein-Bézier y algunas propiedades útiles en varias aplicaciones.