Estudio del caos en las ecuaciones macroscópicas de una población de neuronas forzadas paramétricamente

Abstract

La neurociencia es un campo multidisciplinar que requiere de la física y de la computación para modelar la actividad cerebral. Los modelos neuronales tratan de describir mediante ecuaciones cómo las neuronas coordinan sus comportamientos cuando están acopladas en red. El presente trabajo se centra en un modelo que describe la dinámica colectiva de una población de neuronas. Este es un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias, cuyas variables son la tasa de disparo y el potencial de membrana promedio (firing-rate equations o FRE). Estas ecuaciones se rigen por una dinámica no lineal y pueden presentar comportamiento caótico cuando se fuerzan paramétricamente. El principal objetivo es estudiar bajo qué circunstancias un forzamiento temporal en el acoplamiento sináptico J provoca un comportamiento caótico en las FRE. Para ello, es fundamental introducir primero las bases de la dinámica no lineal y el caos. Se introduce el concepto de exponente de Lyapunov, que sirve para caracterizar el caos en las FRE. Además, el estudio de este sistema dinámico requiere emplear métodos de cálculo numérico, que en este caso se han realizado en MATLAB. En resumen, se constata la existencia de caos determinista para un forzamiento sinusoidal en el acoplamiento sináptico.

Neuroscience is a multidisciplinary science that requires physics and computation to model brain activity. Neuronal models are based in differential equations, in order to describe the dynamical behaviour of coupled neurons in a network. This final degree project focuses on a particular model regarding the description of the collective dynamics of a population of neurons. This model consists in a system of two ordinary differential equations, where the firing rate and the mean membrane potential are the variables (firing-rate equations or FRE). Nonlinearity is an essential feature of these equations, which can lead to chaotic behaviour under parametric forcing. The main goal of this project is to study the chaos arising from a temporal forcing of the synaptic weight J in the FRE. For that purpose, we introduce first the theoretical basis of nonlinear dynamics and chaos. Additionally, we explain the concept of Lyapunov exponent, which is a crucial mathematical tool to determine the existence of chaos in the FRE. Moreover, the analysis of this dynamical system requires numerical methods that have been carried out with MATLAB. To sum up, we prove that the system exhibits deterministic chaos under a sinusoidal forcing in the synaptic weight.