Ergodicidad y caos en sistemas dinámicos

Abstract

En este trabajo se aborda el estudio de la ergodicidad y del caos de ciertos sistemas dinámicos. Por un lado, la ergodicidad es una propiedad que hace referencia a la equivalencia de los promedios temporales sobre una trayectoria y los promedios sobre un conjunto de condiciones iniciales, llamado ensemble. Se trata de un requisito esencial en el ámbito de la Mecánica Estadística del Equilibrio, por ser la base misma del concepto de equilibrio termodinámico. Por otro lado, el caos determinista hace referencia a aquellos sistemas regidos por ecuaciones completamente deterministas cuyo comportamiento, sin embargo, es impredecible a largo plazo. En primer lugar, en este trabajo se presentan, de forma rigurosa, las bases sobre las que se sustenta la Teoría Ergódica y se discute la noción de caos determinista. En segundo lugar, se introduce el tipo de sistema dinámico que será objeto de estudio: el billar plano. Finalmente, se caracterizan, a partir del estudio de distintas propiedades, cuatro tipos de billares planos: el billar de Sinaí, el billar circular, el billar elíptico y el estadio de Bunimovich. Concretamente, se prueba que el billar de Sinaí es un sistema ergódico y caótico, que los billares circular y elíptico no son ergódicos ni caóticos, y que el estadio de Bunimovich es una variante caótica del billar circular. El hecho de que los sistemas sean o no caóticos se demuestra a partir de la obtención de los exponentes de Lyapunov característicos. Asimismo, se verifica que la función de autocorrelación de un observable en un sistema caótico decae en un tiempo finito, mientras que es periódica si el sistema no es caótico. También se comprueba que el espectro de Fourier asociado a una serie temporal en un sistema caótico es continuo, mientras que si el sistema no es caótico el espectro consta de una serie finita de picos. Finalmente, se establece una conexión entre los billares dinámicos y la teoría de la información de una forma completamente original, a partir del análisis de la entropía de Shannon en cada sistema. Este proyecto involucra simulaciones de billares dinámicos mediante códigos de elaboración propia en lenguaje Java.

The study of ergodicity and chaos in certain dynamical systems is addressed in this project. On the one hand, ergodicity is a property which refers to the equivalence between the time average and the ensemble average. This is a crucial requirement in the realm of Equilibrium Statistical Mechanics, as it is the basis of the concept of thermodinamic equilibrium. On the other hand, deterministic chaos refers to those systems which are governed by completely deterministic equations whose behaviour, however, is unpredictable in the long term. First, the underlying bases of Ergodic Theory are established in a rigorous way, and the notion of deterministic chaos is further explored. Secondly, the kind of dynamical system which will be the object of study is introduced: the planar billiard. Finally, four kinds of planar billiards are characterized by the study of different properties. These are the Sinai billiard, the circular billiard, the elliptical billiard and the Bunimovich stadium. In particular, it is proved that the Sinai billiard is both an ergodic and a chaotic system, that both circular and elliptical billiards are neither ergodic nor chaotic and that the Bunimovich stadium is a chaotic variant of the circular billiard. It is demonstrated whether the systems are chaotic or not chaotic by obtaining the Lyapunov characteristic exponents. Likewise, it is verified that the autocorrelation function of an observable of a chaotic system decays within a finite time, while it is periodic if the system is not chaotic. It is also tested that the Fourier spectrum of a time series in a chaotic system is continuous, while in a non chaotic system it has a finite number of peaks. Finally, a connection between dynamical billiards and information theory is established in a completely original way, through the analysis of the Shannon entropy of each system. This project involves simulations of dynamical billiards through codes developed by the author in Java language.