Introducción a la teoría del control

Abstract

Dado un sistema físico y su estado inicial, se quiere saber si podemos “controlarlo" de manera que el estado final del sistema sea el deseado. Como ejemplo, pensar en cuando montamos en bicicleta y nos movemos para no caer. En esta situación, vamos adaptando nuestra posición y nuestros movimientos para “controlar" la bicicleta y no acabar en el suelo. Matemáticamente, el problema anterior es, dada una ecuación diferencial ordinaria (o un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias), conseguir cambiar los parámetros del sistema para que el estado final sea el deseado. Este tipo de preguntas son las que trata de responder la teoría de control. En este trabajo se realiza una introducción a la teoría de control, tratando el caso de sistemas líneas y demostrando que en el caso lineal siempre existe un control bang-bang admisible para las condiciones iniciales. Además, se examina como caso concreto el oscilador armónico.

Given a physical system and its initial state, we want to know if we can “control" it so that the final state of the system is the desired one. As an example, we can think of when we ride a bicycle, and we move to avoid falling. In this situation, we adapt our position and our movements to “control" the bicycle and not end up on the ground. Mathematically, the previous problem is, given an ordinary di_erential equation (or a system of ordinary di_erential equations), to change the parameters of the system so that the final state is the desired one. This type of question is what control theory tries to answer. In this work an introduction to control theory is made, treating the case of linear systems and demonstrating that in the linear case there is always an admissible bang-bang control for the initial conditions. In addition, the harmonic oscillator is examined as a concrete case.