Polinomios de permutación sobre cuerpos finitos

Abstract

A la hora de representar aplicaciones de un cuerpo finito Fq con q = pr siendo p primo en sí mismo existen varias opciones, dar la aplicación en forma polinómica es una de ellas. Las aplicaciones biyectivas representan permutaciones del cuerpo, y los polinomios que representan estas aplicaciones son los polinomios de permutación. Para determinar si un polinomio f(x) actuando sobre un cuerpo Fq es de permutación o no hay varios factores que entran en juego como la característica del cuerpo, su cardinal, el grado del polinomio o sus raíces por ejemplo, que deberá tener exactamente una. Además, conocer las particularidades de estos polinomios permite construir nuevos polinomios de permutación siguiendo ciertas condiciones iniciales. En este trabajo se estudiarán las propiedades más importantes de estos polinomios y de los cuerpos finitos sobre los que actúan, dándose una clasificación que recoge los polinomios de permutación de hasta grado 5. También se mostrarán resultados acerca de la construcción de polinomios de permutación. Finalmente se hablará de los polinomios de permutación general, un tipo particular de polinomio de permutación que funciona como una biyección de un cuerpo Fq en sí mismo, y también de infinitas extensiones del cuerpo.

When representing maps from a finite field Fq with q = pr and p a prime on itself, there exist several options, and giving this map in the polynomical way is one of those. Bijective maps represent permutations on the fields, and the polynomials which represent this maps are called permutation polynomials. In order to determine whether a polynomial f(x) on Fq is a permutation polynomial or not, many factors take place such as the characteristic of the field, its cardinal, the degree of the polynomial or its roots, which should have exactly one. Furthermore, knowing about the particularities of these polynomials, allows to build up new permutation polynomials according to some specific initial conditions. In this paper, main properties of these polynomials and of the finite fields on where they act are studied, giving then a classification of permutation polynomials with degree 5 or less. Also there will be shown some results about creating new permutation polynomials. In the end, we will talk about general permutation polynomials, which is a particular type of permutation polynomial that works as a bijection on a finite field Fq and on infinite many extensions of it.