Electrostatic potentials in the euclidean space

Abstract

In this work, we study the properties of electric (or electrostatic) potentials and fields generated by a finite number of point charges in the Euclidean space Rⁿ. In particular, we focus our study on the behavior of the equilibrium points of such electric fields. We use tools from Morse theory, real analytic geometry and partial differential equations to investigate, among other things, the location of the equilibrium points, their degeneracy, when there are finitely many of them and whether they form a “big” set when there are infinitely many. Finally, motivated by Maxwell’s conjecture and using tools from real algebraic geometry, we obtain some upper bounds for the number of equilibrium points of the electric fields, depending on n and on the number of charges that generate them. We obtain several bounds since certain features of the charges modify the situation, such as the parity of n, whether all the charges have the same sign, or the dimension of the smallest affine set that contains the them.

En este trabajo, estudiamos las propiedades de potenciales y campos eléctricos (o electrostáticos) generados por un número finito de cargas puntuales en el espacio Euclídeo Rⁿ. En particular, centramos nuestro estudio en el comportamiento de los puntos de equilibrio de tales campos eléctricos. Usamos herramientas de teoría de Morse, geometría analítica real y ecuaciones en derivadas parciales para investigar, entre otras cosas, la ubicación de los puntos de equilibrio, su degeneración, cuándo hay una cantidad finita de ellos y si forman un conjunto “grande” cuando hay infinitos. Finalmente, motivados por la conjetura de Maxwell y usando herramientas de geometría algebraica real, obtenemos algunas cotas superiores para el número de puntos de equilibrio de los campos eléctricos, dependientes de n y del número de cargas que los generan. Obtenemos varias cotas porque algunas características de las cargas modifican la situación, como la paridad de n, si todas las cargas tienen el mismo signo, o la dimensión del menor conjunto afín que las contiene.