Transformaciones de Möbius en Rⁿ

Abstract

En el área de las matemáticas, existen conceptos y herramientas que nos permiten estudiar, explorar y comprender la estructura geométrica y algebraica de diversos espacios. Uno de estos conceptos son las Transformaciones de Möbius. Estas transformaciones tienen un papel importante en la geometría proyectiva y la teoría de funciones complejas, brindándonos una visión más profunda de las interacciones entre los números complejos, los puntos del espacio euclidiano y el infinito. En este caso nos centraremos sobre todo en el contexto del espacio euclidiano Rn. En este marco, las transformaciones de Möbius generalizan las transformaciones lineales y las fracciones lineales a un espacio que incluye un punto en el infinito. A lo largo del trabajo, presentaremos un desarrollo comprensivo de las mismas, destacando su versatilidad e importancia en diferentes campos de estudio matemático como la geometría proyectiva, la teoría de grupos o la topología algebraica, con la intención de hacer ver al lector tanto la utilidad como la belleza de las mismas.

In the area of mathematics, there are concepts and tools that allow us to study, explore and understand the geometric and algebraic structure of some spaces. One of these concepts are Möbius transformations. These transformations play an important role in projective geometry and the theory of complex functions, giving us a deeper insight into the interactions between complex numbers, points in Euclidean space and infinity. In this case, we will focus mainly on the context of the Euclidean space Rn. In this section, Möbius transformations generalise linear transformations and linear fractions to a space that includes the infinity. Throughout the work, we will present a comprehensive development of them, highlighting their versatility and importance in different areas of mathematical study such as projective geometry, group theory or algebraic topology, with the intention of making the reader see both their usefulness and their beauty.