Bases de Gröbner

Abstract

Las bases de Gröbner son una herramienta esencial en la geometría algebraica computacional moderna, pues permiten trabajar algorítmicamente con ideales de polinomios en varias variables. Fueron introducidas en paralelo por Hironaka (1964) y Bruno Buchberger (1965), quien les dió el nombre de su tutor Wolfgang Gröbner. En este trabajo, motivamos la introducción de las bases de Gröbner, damos su definición formal, y discutimos algunas aplicaciones a la teoría de la eliminación, la implicitación de variedades algebraicas, la resolución de un problema mecánico, y la deducción automática de teoremas geométricos, que requieren introducir la nociones de bases comprensivas de Gröbner y el recubrimiento de Gröbner. Finalmente, discutimos algunos aspectos sobre la complejidad computacional de los problemas que involucran bases de Gröbner, y las limitaciones que conllevan en la práctica.

Gröbner bases are an essential tool in modern computational algebraic geometry, as they allow to operate algorithmically with ideals of polynomials in several variables. They were introduced in parallel by Hironaka (1964) and Bruno Buchberger (1965), who named them after his tutor Wolfgang Gröbner. In this document, we motivate the introduction of Gröbner bases, give their formal definition, and we discuss some applications to elimination theory, the implicization of algebraic varieties, the resolution of a mechanical problem, and the automatic deduction of geometric theorems (ADGT), which require introducing the notions of comprehensive Gröbner bases and the Gröbner cover. Finally, we discuss some aspects about the computational complexity of problems involving Gröbner bases, and the limitations these entail in practice.