El teorema de inmersión de Hahn

Abstract

Uno de los resultados fundamentales en la teoría de grupos ordenados es el Teorema de Inmersión de Hahn (1907), que proporciona una caracterización sencilla de todo grupo abeliano totalmente ordenado G mediante un isomorfismo con un subgrupo aditivo del producto lexicográfico RΓ, siendo Γ el conjunto de clases de equivalencia arquimedianas no nulas de G. El objetivo fundamental de este trabajo es desarrollar la teoría de grupos ordenados requerida para obtener una demostración autocontenida de este teorema. Para ello, será necesario probar en primer lugar el Teorema de Hölder, que se trata de una particularización del Teorema de Inmersión en grupos arquimedianos, en su caso isomorfos a subgrupos aditivos de R. Posteriormente, para obtener la versión general del resultado necesitaremos tres resultados clave: la biyección entre las clases arquimedianas y los saltos en la cadena de subgrupos convexos de un grupo ordenado, la existencia de envolvente divisible de un grupo abeliano libre de torsión, y la construcción del producto lexicográfico de grupos ordenados. Finalmente, se estudiarán las aplicaciones del teorema, en especial su relación con la búsqueda de soluciones en forma de series de potencias de ecuaciones diferenciales.

One of the most important results in the theory of ordered groups is Hahn’s embedding theorem (1907), which provides a simple characterisation of every linearly ordered abelian group G by means of an isomorphism with an additive subgroup of the lexicographical product RΓ, where Γ is the set of non-zero Archimedean equivalence classes of G. The main goal of this work is to develop the theory of ordered groups needed to obtain a self-contained proof of this theorem. With this aim, it will be necessary to prove H¨older’s theorem first, a particular version of Hahn’s theorem in Archimedean groups, which are isomorphic to an additive subgroup of R. Obtaining the general statement of the theorem next will require three essential results: the bijection between the set of Archimedean classes and the chain of convex subgroups of an ordered group, the existence of the divisible hull of a torsion-free abelian group, and the construction of the lexicographical product of ordered groups. In the end, applications of the theorem are studied, especially its relation with the search for power series solutions of differential equations.