Ecuación de ondas de Boussinesq

Abstract

En este trabajo se realiza un estudio de la ecuación de ondas de Boussinesq. El trabajo se desarrolla principalmente en el campo de análisis matemático, en particular sobre ecuaciones en derivadas parciales, aunque también jugarán un papel importante nociones algebraicas, geométricas y algunos conceptos físicos. Se estudiará su derivación desde el movimiento de las olas en aguas poco profundas y desde los estudios de Fermi-Pasta-Ulam basados en la evolución de un cristal hacia el equilibrio térmico, detallando en cada caso el contexto y cálculos que los llevó a obtener la ecuación. También se tratará la existencia de solución para el problema de valores iniciales y se demostrará la existencia de solución local aplicando un argumento de punto fijo sobre un operador correctamente definido en el espacio de Sobolev H¹. Por último, se realizarán simulaciones en MATLAB de la solución del IVP de Boussinesq. Para ello se resolverá aplicando el método de Runge-Kutta-Fehlberg con orden (4,5).

In this work a study of the Boussinesq wave equation is carried out. The work is developed mainly in the field of mathematical analysis, particularly on equations in partial derivatives, although algebraic and geometric notions and some physical concepts will also play an important role. Its derivation from the movement of waves in shallow waters and from the Fermi-Pasta-Ulam studies based on the evolution of a crystal towards thermal equilibrium will be studied, detailing in each case the context and calculations that led them to obtain the equation. The existence of a solution for the initial value problem will also be discussed and the existence of a local solution will be demonstrated by applying a fixed point argument to a correctly defined operator in the Sobolev space H¹. Finally, MATLAB simulations of the Boussinesq IVP solution will be performed. To do this, it will be solved by applying the Runge-Kutta-Fehlberg method with order (4,5).