La función de Green: propiedades y aplicación a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales

Abstract

El objetivo principal de este trabajo es obtener la función de Green asociada a determinados problemas de contorno. Se estudiarán varios ejemplos en los que es posible encontrar dicha función y se enunciarán algunas de sus propiedades más importantes. La función de Green, asociada a un operador diferencial o en derivadas parciales lineal L, es la solución de la ecuación L[u] = δ, donde el término no homogéneo δ es la Delta de Dirac. Por tanto, se introducirá esta distribución y algunas de sus propiedades más relevantes. Como punto de partida se determinará la función de Green asociada a algunos problemas de contorno sencillos, en los que la ecuación involucrada es una ecuación diferencial ordinaria. Posteriormente, el trabajo se centrará en la obtención de dicha función para resolver algunas ecuaciones en derivadas parciales clásicas, como la Ecuación de Laplace, la Ecuación de Poisson o la Ecuación del Calor.

The aim of this project is to obtain the Green’s function associated to certain boundary-value problems. We will study several examples in which it is possible to find this function and we will show some of its most important properties. The Green’s function associated to a linear ordinary or partial differential operator L, is the solution to the problem L[u] = δ, where the nonhomogeneous term δ is the Dirac Delta function. Therefore, we will introduce this distribution and some of its most relevant properties. As a starting point, we will determine the Green’s function associated to some boundary-value problems, in which the equation involved is an ordinary differential equation. Afterwards, the dissertattion will focus on obtaining this function aiming to solve some classical partial differential equations such as Laplace equation, Poisson equation or Heat equation.