Irreducibilidad de polinomios en Z[x]

Abstract

Dado un polinomio de grado n con coeficientes enteros las posibles raíces enteras se encuentran entre el conjunto de divisores del término independiente (si este es nulo es claro que 0 es una raíz). Pero que un polinomio no disponga de raíces no significa que sea irreducible. Suponiendo que el polinomio es primitivo, la irreducibilidad de un polinomio es equivalente a que dicho polinomio no pueda escribirse como producto de dos polinomios de grado positivo y cada uno menor que n. Desafortunadamente, no existe un criterio general que se aplique a todos los polinomios, pero sí que existen un gran número de criterios de irreducibilidad que permiten dar información valiosa para algunas clases particulares de polinomios. Los criterios de traslación, modular y de Eisenstein son de los más conocidos. Pero existen otros criterios que permiten determinar la irreducibilidad de un polinomio con coeficientes enteros, a la vez que permiten crear polinomios irreducibles. En este Trabajo Fin de Grado se expondrán y demostrarán diversos de estos criterios. En particular, se comenzará con los criterios de tipo Eisenstein que generalizan el clásico conocido y su expresión más general (que fue anterior) que es el criterio de Schönemann, algunos de los cuales pueden definirse también mediante el polígono de Newton y su aplicación a la irreducibilidad se traduce en el criterio de Dumas. También se tratarán criterios basados en los valores que toma el polinomio en algunos enteros y a partir del tamaño de los coeficientes. Asimismo, se pondrán ejemplos que ayuden a comprender mejor los teoremas y resultados vistos.

Given a polynomial of degree n with integer coefficients, the possible integer roots are found between the set of divisors of the independent term (if this is null it is clear that 0 is a root). But the fact that a polynomial has no roots does not mean that it is irreducible. Assuming that the polynomial is primitive, the irreducibility of a polynomial is equivalent to the fact that said polynomial cannot be written as a product of two polynomials of positive degree and each degree less than n. Unfortunately, there is no general criterion that applies to all polynomials, but there are a large number of irreducibility criteria that allow us to provide valuable information for some particular classes of polynomials. The translational, modular and Eisenstein criteria are among the best known. But there are other criteria that allow determining the irreducibility of a polynomial with integer coefficients, which help us create irreducible polynomials. In this Final Degree Project, various of these criteria will be exposed and demonstrated. In particular, it begins with the Eisenstein-type criteria that generalize the known classic and its more general expression (which was earlier), the Schönemann criterion, some of which can be defined by Newton’s polygon and its application to irreducibility translates into the Dumas criterion. Criteria based on the values that the polynomial takes in some integers and from the size of the coefficients will also be discussed. Likewise, examples will be given that help to better understand the theorems and results seen.