Espacios topológicos finitos

Abstract

En este trabajo se ha llevado a cabo un estudio de los espacios topológicos finitos. Se han estudiado las propiedades topológicas básicas que cumplen los espacios topológicos finitos: la compacidad, la conexión, los axiomas de separación y el estudio de las aplicaciones continuas entre ellos. Además, se demuestra que existe una correspondencia biunívoca entre los espacios topológicos finitos y los conjuntos finitos preordenados, por lo que se podrán considerar ambas estructuras matemáticas como iguales. Posteriormente, se ve que todo espacio topológico finito se puede representar mediante un grafo dirigido y que, además, los espacios finitos que verifiquen la hipótesis T0 podrán ser representados por un diagrama de Hasse. Estos diagramas van a ser útiles para estudiar la homotopía de los espacios topológicos finitos, donde se verá que todo espacio topológico finito es homotópicamente equivalente a un espacio topológico finito minimal. Por último, se ha estudiado la Teoría de McCord, donde se prueba que a cada espacio topológico finito T0 se le puede asociar un complejo simplicial, y que se puede definir una equivalencia homotópica débil entre la realización geométrica del complejo simplicial asociado y el espacio topológico finito. Del mismo modo, se prueba que a cada complejo simplicial se le puede asociar un espacio topológico finito T0 y que, de nuevo, se puede definir una equivalencia homotópica débil entre la realización geométrica del complejo simplicial y el espacio topológico finito asociado.

The present work is a study of finite topological spaces. The basic topological properties of finite topological spaces have been studied: compactness, connectedness, separation axioms and the properties of continuous maps between them. In addition, it has been proved the existence of a one-to-one correspondence between finite topological spaces and finite preordered sets, therefore, both mathematical structures can be considered as equals. Subsequently, it is shown that each finite topological space can be represented graphically via a directed graph and that, furthermore, the finite topological spaces that verify the T0 hypothesis can be represented by a Hasse diagram. These diagrams will be valuable tools to study the homotopy of finite topological spaces, where it will be proved that each finite topological space is homotopically equivalent to a minimal T0 finite topological space. Finally, the Theory of McCord has been studied, in which a simplicial complex is associated to each T0 finite topological space, and it can be defined a weak homotopy equivalence from the geometric realization of the associated simplicial complex to the finite topological space. In the same way, a T0 finite topological space can be associated to each simplicial complex, and a weak homotopy equivalence can also be defined from the geometric realization of the simplicial complex to the associated finite topological space.