Funciones de Morse

Abstract

En este trabajo, se presenta la estrecha relación que existe entre algunas funciones diferenciables y la estructura de la variedad diferenciable en la que se definen. Dichas funciones diferenciables serán definidas bajo el nombre de funciones de Morse, en honor a Marston Morse. En concreto, se centraría la atención en los puntos críticos y sus entornos, siendo el lema de Morse el resultado más destacado en este ámbito. Se profundizará sobre la existencia de funciones de Morse, desprendiéndose en el camino grandes resultados como el teorema de Sard y conceptos clave como la cercanía entre funciones diferenciables o los conjuntos de medida cero. Seguidamente, se introducirán las nociones de campo vectorial gradiente, curva integral y sección de una variedad diferenciable; las cuales son esenciales para presentar dos teoremas denominados fundamentales por su capacidad para relacionar las distintas secciones de una variedad diferenciable. Se culminará con el corolario de descomposici´on, el cual afirma que cualquier variedad diferenciable es difeomorfa a un complejo de asas.

This work is devoted to investigate the relationship between some differentiable functions and the structure of the differentiable manifold where they are defined. Those differentiable functions will be defined as Morse functions, in honor of Marston Morse. One of the main subjects of study are going to be critical points and their neighbourhoods, where Morse lemma is undoubtedly the most important result. Existence of Morse functions will be analyzed on detail, reaching on the path some major results as Sard theorem and key concepts as the closeness between differentiable functions and sets of measure zero. Next, it will be introduced the notions of gradient vector field, integral curve and section of a differentiable manifold; which are essential to present two fundamental theoremas, so called because they relate any two sections of a differentiable manifold. It will culminate with the corollary of descomposition, which claim that any differentiable manifold is diffeomorphic to a handlebody.