El Condicionamiento en Matrices Singulares y el Jacobiano normal de la Parametrización desde la Descomposición en Valores Singulares

Abstract

RESUMEN: Este trabajo comienza presentando algunos resultados básicos sobre los números de condicionamiento de Turing-von Neumann (κ(A)) y de Edelmann-Smale (µ(A)) para matrices con o sin déficit de rango. La justificación clásica de los números de condicionamiento para matrices regulares suele ser el control del error relativo causado por la perturbación de un sistema de ecuaciones lineales, en el caso de matrices no cuadradas o que no son de rango máximo, este trabajo abordará, con demostración autocontenida, el Teorema de Wedin que muestra cómo el condicionamiento de matrices singulares o con déficit de rango se relaciona con la precisión en la resolución de los problemas de mínimos cuadrados. El siguiente resultado fundamental que se aborda es el Teorema de Schmidt-Mirsky-Eckart-Young que prueba la equivalencia entre el condicionamiento y el inverso de una distancia sobre un espacio proyectivo (o una esfera) y que también es demostrado de manera autocontenida. Tras la finalización de dicha demostración comienza la segunda parte del trabajo, la cual trata el problema del comportamiento en promedio de estos números de condicionamiento. Para ello, hacemos uso de la Fórmula de la Co-área, y siguiendo un excelente trabajo de C. Beltrán de 2009 realizamos los procedimientos completos para obtener el Jacobiano Normal de la parametrización proveniente de la descomposición en valores singulares entre otros resultados.

ABSTRACT: This paper begins by presenting some basic results on the Turing-von Neumann (κ(A)) and Edelmann-Smale (µ(A)) condition numbers for matrices with or without rank deficit. The classical justification of the condition numbers for regular matrices is usually the control of the relative error caused by the perturbation of a system of linear equations, in the case of non-square or non-maximum rank matrices, this work is tackled, with self-contained proof, by Wedin’s Theorem, que muestra how conditioning of singular or rank-deficit matrices is related to accuracy in solving least squares problems. The next fundamental result that is treated is the Schmidt-Mirsky-Eckart-Young Theorem, which proves the equivalence between the conditioning and the inverse of a distance on a projective space (or a sphere), this Theorem is also proved in a self-contained way. After the completion of said demonstration, the second part of the work begins, which deals with the problem of the behavior in average of these condition numbers. For this, we make use of the Co-area Formula, and following an excellent work by C. Beltr´an of 2009, we carry out the complete procedures to obtain the Normal Jacobian of the parameterization coming from the singular value decomposition, among other results.