La consistencia relativa del axioma de elección

Abstract

RESUMEN: El axioma de Elección fue enunciado por primera vez por Zermelo en 1904 y desde entonces ha aparecido en las distintas ramas de las matemáticas en sus formas equivalentes. A pesar de ser criticado por algunos matemáticos parece complicado eludir su uso. Por consiguiente, parece natural preguntarse si es correcto o no añadir este axioma a la axiomatización de Zermelo-Fraenkel. El objetivo del trabajo es probar la consistencia relativa del Axioma de Elección. Primero se prueba que los axiomas de la Aritmética de Peano se cumplen en ZF, esto supone que por el Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel, no es posible probar si ZF es consistente dentro de ZF. Por tanto, para realizar la prueba se asume la consistencia de ZF, luego, por el Teorema de Completitud de Gödel sabemos que tiene un modelo. Se estudian los modelos de ZF y se prueba que todos los modelos ZF tienen la forma del Universo de von Neuman. Se construye un submodelo que cumpla todos los axiomas de ZF y el axioma de Elección, llamado el universo Constructible. Concluyendo que la consistencia de ZF implica la consistencia de ZFC, por lo tanto asumir el axioma de Elección en la teoría de conjuntos no da lugar a contradicción

ABSTRACT: The Axiom of Choice was first formulated by Zermelo in 1904 and since then it has appeared in its equivalent forms in the different mathematical branches. Even thought it has been criticized by some mathematians it seems difficult to avoid its use. Therefore it seems natural to ask whether it is correct or not to add this axiom to the Zermelo-Fraenkel axiomatization. The purpose of this project is to prove the relative consistency of the Axiom of Choice. First it is proven that the Peano Arithmetic holds in ZF, by the G¨odel Sencond Incompleteness Theorem it is impossible to prove that ZF is consistent inside ZF. Then to carry out the proof we asume that ZF is consistent, by the Completeness Theorem ZF has a model. The models of ZF are studied and proven to have the structure of von Neumann Universe. A submodel is build so it holds all of the ZF axioms and the Axiom of Choice, the Constructible Universe. In conclusion the consistency of ZF implies the consistency of ZFC meaning that there is no place for contradiction in asuming that the Axiom of Choice in the set theory.