Las funciones de Airy: propiedades y evaluación numérica

Abstract

RESUMEN: Las funciones de Airy son soluciones de la ecuación de Airy, que es una EDO lineal homogénea de segundo orden con un punto de retorno simple. Estas funciones aparecen en multitud de aplicaciones en matemática, física e ingeniería. En este trabajo se obtendrán las propiedades más relevantes de las funciones de Airy, y en particular aquellas que son de especial relevancia en su evaluación numérica. Entre otros aspectos se abordará la obtención de representaciones integrales, a partir de las que se derivan tanto expansiones convergentes como divergentes (asintóticas) para estas funciones. Algunas de estas representaciones integrales podrán ser también útiles para la evaluación numérica de las funciones mediante cuadratura numérica. La evaluación precisa y eficiente de las funciones de Airy requerirá de la combinación de varios métodos numéricos, entre ellos los ya mencionados (expansiones convergentes, expansiones asintóticas y cuadratura numérica).

ABSTRACT: Airy functions are the solutions of the Airy equation which is an linear homogeneus ODE of second order with a single turning point. These fun ctions appear in a huge number of mathematics, physics and engineering results. In this project, the most relevant properties of the Airy functions will be obtained, and in particular those that are of special relevance in their numerical evaluation. Among other aspects, the obtaining of integral re presentations will be addressed, from which both convergent and divergent (asymptotic) expansions are derived for these functions. Some of these integral representations may also be useful for the nume rical evaluation of functions by numerical quadrature. Accurate and efficient evaluation of Airy functions will require the combination of various nume rical methods, including those already mentioned (convergent expansions, asymptotic expansions and numerical quadrature).