Teoría de Submersiones

Abstract

RESUMEN: En este trabajo se estudian varias ideas de la geometría y topología diferencial que confluyen bajo el concepto de submersión. Las submersiones se definen como funciones diferenciables cuyas aplicaciones tangentes son sobreyectivas en cada punto, y son de cierta manera duales a las inmersiones. Este tipo de aplicaciones entre variedades diferenciables constituyen una amplia clase de funciones que aparecen con frecuencia al manejar diversas estructuras matemáticas. Se mostrarán las propiedades fundamentales que las caracterizan, para luego identificar y estudiar varios casos de especial interés. En particular, se estudian las variedades cociente, las variedades homogéneas, las cubiertas topológicas diferenciables y los fibrados principales, identificando el papel que juegan las submersiones en cada caso y exponiendo ejemplos relevantes de cada tipo. Se prestará también especial atención a las submersiones riemannianas, una noción que surge en la década de los sesenta del siglo pasado. En concreto se presentarán los tensores fundamentales asociados a una submersión riemanniana y las ecuaciones fundamentales que relacionan las curvaturas de las variedades involucradas

ABSTRACT: This work is devoted to study different aspects within the fields of differential topology and geometry that come together under the notion of smooth submersion. These are defined as smooth maps whose differentials or pushforwards are surjective at each point, making them in some sense dual to the concept of immersions. This kind of map between differentiable manifolds is frequently encountered when working with a wide variety of mathematical structures. We will derive the basic properties that characterize them, in order to properly identify and study several scenarios in which submersions play a significant role. In particular, we will focus our attention on quotient manifolds, homogeneous manifolds, smooth covers and principal fiber bundles, pointing out how submersions are involved and presenting relevant examples for each case. In addition to that we present riemannian submersions, a concept developed as recently as in the sixties of the past century. Precisely, we will introduce the fundamental tensors associated to each riemannian submersion and the fundamental equations that link the curvatures of the manifolds involved.