El Teorema de Serre-Auslander-Buchsbaum

Abstract

ABSTRACT: This manuscript is devoted to present a detailed, self-contained proof of both: one of J.P. Serre’s conjectures (1955) about regular local rings and the subsequent answer to E. Artin’s question about factoriality in said rings, given by M. Auslander and D.A. Buchs baum in 1959. The first result states that being a regular local ring is a local property, while the second one claims that every regular local ring is a unique factorization domain. Prior to showing the proof of these statements, we analyze the different notions of dimension in Ring Theory and a particular case in which they all coincide, the so-called Dimension Theorem. Then, we introduce the concept of regular local ring, as well as the necessary tools to tackle the problem; that is, bi-functors Tor and Ext, whose properties will play a crucial role in providing a homological characterization of regular local rings in terms of their global dimension. This result constitutes the fundamental pillar of the manuscript and will be key in proving Serre’s and Auslander-Buchsbaum’s Theorems. By drawing on projective resolu tions of R-modules and derived functors, this text aims to highlight the relevance and power of homological methods when solving problems that arise in other branches of Mathematics such as Commutative Algebra

RESUMEN: Este manuscrito se dedica a presentar una prueba detallada y autocontenida de una de las conjeturas de J.P. Serre (1955) sobre anillos locales regulares y de la respuesta a la pregunta de E. Artin sobre la factorialidad en dichos anillos, por parte de M. Auslander y D.A. Buchsbaum en 1959. El primero de los resultados dice que ser un anillo local regular es una propiedad local, mientras que el segundo afirma que todo anillo local regular es dominio de factorización única. Antes de mostrar la prueba de estas afirmaciones, se analizan las distintas nociones de dimensión de la Teoría de Anillos y un caso particular en el que todas ellas coinciden, el conocido como Teorema de la Dimensión Local. Seguidamente, se introduce el concepto de anillo local regular, así como las herramientas necesarias para abordar el problema; esto es, los bi-functores Tor y Ext, cuyas propiedades jugarán un papel crucial proporcionando una caracterización de los anillos locales regulares en términos de su dimensión global. Este resultado constituye el pilar fundamental de este manuscrito y sería clave en la prueba de los Teoremas de Serre y Auslander-Buchsbaum. A través del uso de resoluciones proyectivas de R-módulos y functores derivados, este texto pretende recalcar la relevancia y el poder de los métodos del Algebra Homológica a la hora de resolver problemas ´ que surgen en otras áreas de las Matemáticas como el Algebra Conmutativa.