La energía logarítmica de la esfera de dimensión 3

Abstract

RESUMEN: La distribución de puntos es un objeto de estudio de gran interés y claras aplicaciones prácticas. En este trabajo se ha buscado distribuir puntos sobre la esfera S³ con el objetivo de minimizar la energía logarítmica. Para ello, se ha empleado como herramienta fundamental a lo largo del trabajo la fibración de Hopf. La fibración de Hopf permite asociar a cada punto de S² una circunferencia máxima de S³. Esto ha permitido emplear distribuciones de puntos con energía logarítmica baja en S² para obtener así distribuciones de puntos en S². Se ha comenzado por distribuir los puntos aleatoriamente de manera uniforme. Se hecho esto tanto en S³ como en S³ , usando después la fibración de Hopf para obtener puntos en S₃ . Se han empleado también nociones de simetría para mejorar dichas distribuciones. Tras esto, se han distribuido puntos empleando el conjunto diamante, presentado en [1]. Sin embargo, no ha sido posible obtener resultados de manera analítica, y se ha recurrido al cálculo numerico. Esto ha permitido recuperar los dos primeros términos de la expansión asintótica y obtener un término lineal con coeficiente cercano a 0. Finalmente, se ha empleado un proceso de puntos determinantal, el spherical ensemble presentado en [2]. Este proceso ha permitido obtener la siguiente expansión asintótica: E = − N2 /4 − 1 /3 N log N + N /3 (2 + log 9π/ 64)− 4/ 3 4/3π 2/3 N²/³ + O(N¹ /³).

La comparativa de este resultado con el proceso determinantal harmonic ensemble (presentado en [3]) ha permitido ver como los puntos dados por la combinación de la fibración de Hopf con el spherical ensemble presentan una energía logarítmica menor.

ABSTRACT: The distribution of points is an object of study of great interest and clear practical applications. In this work, the aim has been to distribute points on the sphere S³ with minimal logarithmic energy. In order to do so, the Hopf fibration has been used as the main tool. The Hopf fibration allows us to associate a maximal circumference of S³ to each point in S² . This has made it possible to use point distributions with small logarithmic energy in S² to obtain point distributions in S³. The first step was to randomly distribute the points uniformly. This was made both in S³ and S² , making use of the Hopf fibration to obtain points in S³. Some symmetry notions have been used to improve these distributions. Following this, points have been distributed making use of the Diamond ensemble, presented in [1]. However, it has not been possible to obtain results analytically. This has led to numerical analysis and the first two terms of the asymptotical expansi´on have been recovered. Furthermore, a linear term with a coefficient close to 0 has been found. Finally, a determinantal point process called Spherical ensemble and presented in [2] has been used. Combined with the Hopf fibration, this point process has led to the following asymptotical expansion: E = − N2/4 − 1/3 N log N + N 3 (2 + log 9π/ 64)− 4/ 3 4/3π 2/3 N²/³ + O(N¹/³ ). Comparing this result with the point process Harmonic ensemble (presented in [3]) allows us to notice how the points given by the combination of the Hopf fibration and the Spherical ensemble present lower logarithmic energy.