Imágenes continuas del conjunto Cantor

Abstract

RESUMEN: El objetivo de este trabajo es probar el Teorema de Hausdorff-Alexandroff, el cual afirma que todo espacio métrico compacto es la imagen continua del conjunto de Cantor. Para ello, se comenzará estudiando algunos resultados de topología general que parten de los conocimientos adquiridos durante el Grado. Asimismo, para lograr dicho objetivo, se estudiarán las propiedades topológicas del Conjunto de Cantor y se probará un resultado conocido como el Teorema de Brouwer, que afirma que todo espacio métrico, compacto, perfecto y totalmente discontinuo es homeomorfo al conjunto de Cantor, dando así una caracterización topológica del conjunto de Cantor. Para finalizar el trabajo se estudiarán las condiciones topológicas que debe verificar un espacio para ser imagen continua del conjunto de Cantor y se construirá un ejemplo de un espacio que no puede ser la imagen continua del conjunto de Cantor.

ABSTRACT: The objective of this project is to prove the Hausdorff-Alexandroff Theorem, which states that every compact metric space is the continuous image of the Cantor set. To do this, we will begin by studying some results concerning general topology that are based on the knowledge acquired during the Degree. Likewise, to achieve this goal, the topological properties of the Cantor Set will be studied and we will prove a result known as Brouwer’s Theorem, which states that every metric, compact, perfect and totally discontinuous space is homeomorphic to the Cantor set, thus giving a topological characterization of the Cantor set. To finish the project the topological conditions a space has to verify to be the continuous image of the Cantor set will be studied and an example of a set which cannot be the continuous image of the Cantor set will be contructed.