La Ex-Conjetura de Serre: Teorema de Quillen-Suslin

Abstract

RESUMEN: Este trabajo se dedica a explorar y presentar una de las famosas conjeturas de J. P. Serre, planteadas en la década de 1950, y la respuesta afirmativa que D. Quillen y A. A. Suslin dieron a dicha conjetura en 1976. Este resultado afirma que para módulos finitamente generados sobre anillos de polinomios con coeficientes en un dominio de ideales principales, las condiciones de módulo proyectivo y libre son equivalentes. Antes de mostrar la prueba de la ex-conjetura de Serre, vamos a introducir el concepto de propiedades locales, cuyo estudio contextualiza esta conjetura, así como algunos resultados instrumentales que son clave en la demostración. Uno de estos es el llamado Teorema de Quillen-Suslin, el cual constituye la pieza final que llevó a Quillen y a Suslin a resolver la conjetura de Serre. El principal objetivo de este trabajo es dar la prueba de Quillen del Teorema de Quillen-Suslin. Para concluir, presentaremos una aplicación de la ex-conjetura de Serre, con el propósito de mostrar que este abstracto resultado ha tenido una cierta trascendencia en el desarrollo posterior de las Matemáticas, especialmente de la Geometría Algebraica.

ABSTRACT: This work is devoted to explore and present one of J. P. Serre’s famous conjectures, proposed in the decade of 1950, and the affirmative answer that D. Quillen and A. A. Suslin gave to this conjecture in 1976. This result states that for finitely generated modules over polynomial rings with coefficients in a principal ideal domain, the conditions of projective and free module are equivalent. Before showing the proof of Serre’s ex-conjecture, we will introduce the concept of local properties, whose study constitutes the context of this conjecture, as well as some instrumental theorems that are key in the proof. One of these is the so called Quillen-Suslin Theorem, and constitutes the final piece that led Quillen and Suslin to the solution of Serre’s conjecture. The main goal of this work is to give Quillen’s proof of Quillen-Suslin Theorem. Finally, we will present an application of Serre’s ex-conjeture, in order to show that this abstract result has had a certain trascendence in the posterior development of Mathematics, particularly in Algebraic Geometry.