RESUMEN: El estudio de las desigualdades funcionales es un área bastante activa de la investigación en Análisis Matemático. Eso es así en parte por dos razones: estas desigualdades nos permiten entender en ocasiones cómo se relacionan unos espacios de funciones con otros y al mismo tiempo podemos usarlas para demostrar diversas propiedades de ciertas ecuaciones en derivadas parciales. De la misma manera, a veces el estudio de ciertas ecuaciones en derivadas parciales arroja nuevas desigualdades funcionales interesantes por sí mismas. En este TFG estudiaremos diversas desigualdades funcionales para espacios de Sobolev así como algunas de sus aplicaciones a ecuaciones en derivadas parciales de evolución. También veremos ciertos resultados que realizan el camino inverso: plantean el estudio de una ecuación en derivadas parciales como medio para obtener nuevas desigualdades funcionales.
ABSTRACT: The study of functional inequalities is a fairly active area of research in Mathematical Analysis. This is partly for two reasons: these inequalities sometimes allow us to understand how function spaces are related to each other, and at the same time we can use them to prove several properties of certain partial differential equations. In the same way, sometimes the study of certain partial differential equations yields new functional inequalities that are interesting in their own right. In this dissertation we will study several functional inequalities for Sobolev spaces as well as some of their applications to evolution partial differential equations. We will also see certain results that go the other way round: they propose the study of a partial differential equation as a mean to obtain new functional inequalities.
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