Polinomios ortogonales y cuadratura Gaussiana

Abstract

RESUMEN: En este trabajo se estudia la evaluación de cuadraturas Gaussianas y su relación con la teoría de polinomios ortogonales que será básica para una descripción más sencilla del problema así como la formulación de algoritmos de cálculo. En estos métodos numéricos se utilizan las relaciones de recurrencia existentes entre los polinomios ortogonales que en algunos casos son expresadas de manera exacta mientras que en otros se evaluarán de forma numérica con el algoritmo de Stieltjes. Por ello, partiendo de la definición de cuadratura Gaussiana se construirán algoritmos para la evaluación de cuadraturas clásicas (Hermite, Laguerre y Jacobi) y se considerarán extensiones tales como el cálculo de cuadraturas para pesos no clásicos (para los que no existen fórmulas cerradas para los polinomios). Sería presentado el algoritmo de Golub-Welsch así como ejemplos concretos para su funcionamiento. Por último, se comentan los aspectos más importantes de las principales extensiones de las cuadraturas Gaussianas.

ABSTRACT: In this work we study the evaluation of Gaussian quadratures and its relation with the theory of orthogonal polynomials that will be basic for a simpler description of the problem as well as the formulation of calculation algorithms. In these numerical methods the existing recurrence relations between orthogonal polynomials are used, which in some cases are expressed in an exact way while in others they will be evaluated numerically with the Stieltjes algorithm. Therefore, starting from the definition of Gaussian quadrature, algorithms for the evaluation of classical quadratures (Hermite, Laguerre and Jacobi) will be constructed and extensions such as the calculation of quadratures for non-classical weights (for which there are no closed formulas for the polynomials) will be considered. The Golub-Welsch algorithm will be presented as well as concrete examples for its operation. Finally, the most important aspects of the main extensions of Gaussian quadratures are discussed.