Resultados de separación para puntos de mínima energía en esferas

Abstract

RESUMEN: El problema de la distribución de puntos en esferas ha suscitado el interés de destacados científicos desde comienzos del siglo xx debido tanto a la belleza intrínseca del problema como a sus numerosas aplicaciones en matemáticas, física, química o biología. Entre las diferentes formas posibles de obtener una buena distribución de puntos, una de las que ha recibido mayor atención consiste en considerar los puntos que minimizan la energía de Riesz o s-energía. Podríamos plantearnos entonces la siguiente pregunta: dados N puntos que minimizan la s-energía en Sd, ¿estarán dichos puntos bien separados? Este problema, que podría parecer sencillo, se encuentra resuelto sólo parcialmente. Con el objetivo de mejorar nuestra comprensión de esta cuestión, en este trabajo demostramos la buena separación de los puntos de mínima energía en tres de los casos conocidos: s > 0 y s = log en S¹, s = log en S² y d−1≤ s < d en Sd, con d≥2.

ABSTRACT: The problem of distributing points on spheres has attracted the interest of notable scientists since the beginning of the twentieth century due both to the intrinsic beauty of the problem and to the large number of applications that it has in mathematics, phyisics, chemistry or biology. Among the different possible ways to obtain well-distributed points on spheres, perhaps the one that has received the most attention entails considering the points that minimise the Riesz energy, also known as s-energy. Thus, a natural question arises: given N points which minimise the s-energy on Sd, will these points be well separated? This problem, which might seem deceptively simple, is only partially solved. In order to improve our understanding of this question, in this dissertation we prove that minimum energy points on spheres are well separated in three of the known cases: s > 0 y s = log en S¹, s = log en S² y d−1≤ s < d en Sd, con d≥2.