Polinomios irreducibles sobre cuerpos finitos

Abstract

RESUMEN: Es bien sabido que cualquier cuerpo finito tiene p[elevado]n elementos con p un número primo y n un entero positivo. Recíprocamente, para cada primo p y cada entero positivo n existe un único cuerpo finito (salvo isomorfismo) con p[elevado]n elementos, Fpn. La construcción de Fpn se realiza como extensión del cuerpo primo Fp a partir de un polinomio irreducible de grado n; esto es: Fpn es isomorfo al cuerpo Fp[x]=(f(x)) con f un polinomio irreducible sobre Fp de grado n. Por la unicidad del cuerpo finito, éste también puede construirse a partir de Fpr con r un divisor de n, utilizando un polinomio irreducible sobre Fpr de grado n/r . En este trabajo de fin de grado se pretende estudiar para un cuerpo finito Fq, q = p[elevado]r, cómo construir un polinomio irreducible de grado dado que permita dar una construcción efectiva de cualquier cuerpo finito. Asimismo, se determinará el número de polinomios irreducibles existentes sobre un cuerpo finito de grado dado, así como la cantidad de polinomios irreducibles con ciertas características.

ABSTRACT: It is well known that any finite field has p[elevado]n elements, where p is a prime number and n a positive integer. Reciprocally, for every prime number p and every positive integer n there exists a unique up to isomorphism finite field with pn elements: Fpn. The field Fpn is defined as an extension of the prime field Fp from an irreducible polynomial of degree n: this is, Fpn is isomorphic to the field Fp[x]=(f(x)) where f 2 Fp[x] is an irreducible polynomial of degree n. Since every finite field is unique, it can also be constructed from Fpr where r divides n using an irreducible polynomial of degree n r over Fpr . This work aims to study, for a finite field Fq with q = pn, how to build an irreducible polynomial of a xed degree that enables the efective construction of any finite field. In addition, this work will determine the number of irreducible polynomials of a xed degree over a finite field, and the number of irreducible polynomials with determined characteristics.