Clasificación de 4-símplices vacíos y otros politopos reticulares

Abstract

RESUMEN: Un d-politopo es la envolvente convexa de un conjunto finito de puntos en R^d. En particular, si un d-politopo está generado por exactamente d + 1 puntos se dice que es un símplice o un d-símplice. Además, si tomamos los puntos con coordenadas enteras, se dice que el politopo es reticular. A lo largo de esta tesis doctoral se estudian los politopos reticulares y, más concretamente, se estudian dos tipos de estos que son los politopos reticulares vacíos (cuyos únicos puntos reticulares son los vértices) y los politopos reticulares huecos, politopos reticulares que no poseen puntos reticulares en su interior relativo, es decir, todos sus puntos reticulares se encuentran en la frontera. Los politopos huecos, también vacíos, aparecen como el ejemplo más sencillo de politopos reticulares al no tener puntos enteros en el interior de su envolvente convexa. El principal resultado de la tesis doctoral es la clasificación de símplices vacíos en dimensión 4. Mientras los casos en dimensión 1 y 2 son triviales y el caso de dimensión 3 estaba concluido desde 1964 con el trabajo de White [Whi64], con este trabajo se completa esta clasificación en dimensión 4. Artículos como el de Mori, Morrison y Morrison [MMM88] en 1988 consiguen describir algunas familias de 4-símplices vacíos de volumen primo en términos de quíntuplas. Otros trabajos como el de Haase y Ziegler [HZ00] en el 2000, obtienen resultados parciales de esta clasificación. En particular, en ese trabajo se conjeturó una lista completa de 4-símplices vacíos con anchura mayor que dos, la cual se prueba completa en esta tesis. Empleando técnicas de geometría convexa, geometría de números y resultados previos sobre la relación entre la anchura de un politopo y su volumen, somos capaces de establecer unas cotas superiores para los 4-símplices vacíos que deseamos clasificar. Con estas cotas para el volumen de los símplices y una gran cantidad de computación de estos politopos reticulares en dimensión 4 somos capaces de completar la clasificación, explicando el método general utilizado para describir las familias de símplices vacíos que aparecen en la clasificación.

ABSTRACT: A d-polytope is the convex hull of a finite set of points in R^d. In particular, if a d-polytope is generated by exactly d + 1 points, it is said to be a simplex or a d-simplex. In addition, if we take the points with integer coordinates, the polytope is a lattice polytope. Throughout this thesis, lattice polytopes are studied and, more specifically, two types of these, which are empty lattice polytopes (whose only integer points are its vertices) and hollow polytopes, lattice polytopes that do not have integer points in their interior, that is, all their integer points are in their facets. Hollow polytopes, also empty, appear as the simplest example of lattice polytopes because they have no integer points inside their convex hull. The main result of the thesis is the classification of empty simplices in dimension 4. While cases in dimension 1 and 2 are trivial and the case of dimension 3 has been completed since 1964 with the work of White [Whi64], this work completes this classification in dimension 4. Papers such as Mori, Morrison and Morrison [MMM88] in 1988 manage to describe some families of empty 4-simplices of prime volume in terms of quintuples. Other works, such as Haase and Ziegler [HZ00] in 2000, obtain partial results tor this classification. In particular, this work conjecture a complete list of empty 4-simplices of width greater than two, which is verified in this thesis. With convex geometry tools, geometry of numbers and previous results that rely on the relationship between the width of a polytope and its volume, we are able to to set upper bounds for the volume of hollow 4-simpolices, that we want to classify. With these upper bounds for the volume of the simplices and a lot of computation of these lattice polytopes in dimension 4 we are able to complete the classification, explaining the general method used to describe the families of empty simplices that appear in the classification.