Study of the variance of grid-based estimators

Abstract

ABSTRACT: The main purpose of this project is to estimate the length of a planar curve and to find an expression for its variance. A common method is the unbiased Buffon-Steinhaus estimator which is based on intersection counting with a square grid. Whereas the procedure seems easy to understand, the error variance prediction formulae is a nontrivial problem. An effective approach has been made by Gual-Arnau and Cruz-Orive [2000] and it will be followed in this project. It is based in the study of the covariogram for periodic measurement functions by exploiting symmetric properties. These theoretical results have been applied by Gomez et al. [2016] to study the variance components due to orientations and to intersection counting for different DNA molecules. In particular, in this thesis, a focus has been set on the study of the γ3;6;7 curve which was described by Pausinger and Vartziotis [2018] and is considered highly isotropic. Modifications of its isotropic character may help to understand the orientation component of the variance estimator. Furthermore several models have been suggested and tested in order to improve previous estimators. Finally, preceding studies have been compared with non-square grids such as rhomboid and cycloid grids.

RESUMEN: El principal objetivo de este trabajo es estimar la longitud de una curva plana y encontrar una expresión que prediga su varianza. Un método común e insesgado es el de Buffon-Steinhaus, que se basa en contar intersecciones con una rejilla cuadrada. Aunque el procedimiento es fácil de entender, encontrar un estimador de la varianza no es un problema trivial. Gual-Arnau and Cruz-Orive [2000] trata este problema y será seguido en este proyecto. Está basado en el estudio de covariogramas para funciones periódicas, aprovechando sus propiedades simétricas. Estos resultados teóricos se aplican en Gomez et al. [2016] para estudiar las componentes de la varianza debido a la orientación y a la superposición con la rejilla para distintas moléculas de ADN. En particular, en este proyecto hemos estudiado la curva γ3;6;7 que es descrita en Pausinger and Vartziotis [2018] y es considerada bastante isotrópica. Modificaciones en su carácter isotrópico mediante deformaciones pueden ayudar a entender el componente de la varianza debido a la orientación. Además, distintos modelos han sido sugeridos y probados con el fin de reducir el error de previos estimadores. Finalmente, se ha extendido su estudio para el caso de rejillas no cuadradas como la romboide o la cicloide.