La Desigualdad de Bézout Geométrica de J. Heintz: deconstrucción, una prueba autocontenida

Abstract

RESUMEN: La Desigualdad de Bézout es un resultado central de la Geometría Algebraica, cuyo origen se remonta tiempos de I. Nexton (1642-1727) y é. Bézout (1730-1783). Los matemáticos de la época estaban interesados en la resolución de sistemas de dos ecuaciones polinomiales en dos variables (es decir, calcular los puntos de intersección de dos curvas planas). Pronto se percataron de que \resolver", no es una tarea clara a realizar algorítmicamente. Se trataba de encontrar una descripción de dichas soluciones, que como se observa en los trabajos de N. Abel o é. Galois sobre resolución de ecuaciones polinomiales por radicales, no siempre puede encontrarse. Por tanto, se buscaba al menos tener control (una cota superior) en el número de soluciones a calcular. Es por este motivo, por el cual la Desigualdad de Bézout es un resultado tan importante en el campo de la Geometría Algebraica. Durante el siglo XIX y comienzos del siglo XX, la Teoría de Eliminación (también llamada Geometría Algebraica Computacional), evolucionaron teniendo en cuenta la necesidad de mantener el control en el tamaño de las soluciones, cuando se intersecan variedades algebraicas de dimensión arbitraria. Sin embargo, hasta comienzos de la década de los 80 del siglo pasado, no había una Desigualdad de Bézout para variedades algebraicas generales. Tres autores (W. Vogel, J. Heintz y W. Fulton) propusieron varias igualdades y desigualdades, en la linea de las ideas originales de é. Bézout y I. Newton. En este trabajo nos centraremos en realizar una deconstrucción completa y autocontenida de la Desigualdad de Bézout Geométrica de Joos Heintz para variedades algebraicas afines, publicada en [He, 83]. Para ello, en primer lugar se establece el concepto de grado geométrico de una variedad algebraica afín, desde una perspectiva algebraica (como grado de la extensión de cuerpos de funciones racionales dada por un morfismo dominante) y una geométrica (como el cardinal finito de una intersección adecuada con variedades afines lineales), por medio de los conjuntos localmente cerrados para la topología de Zariski. Además, se prueba que dicha definición verifica que el grado del producto cartesiano se corresponde con el producto de los grados, resultado esencial para probar la Desigualdad de Bézout. Finalmente, se estudiará la intersección múltiple entre conjuntos constructibles (unión finita de conjuntos localmente cerrados), que también verifica una desigualdad de Bézout Geométrica. Se realizará una generalización del resultado propuesto para variedades algebraicas afines por J. Heintz y C. P. Schnorr (1982), por medio de dos cotas originales para el grado de la intersección finita de constructibles.

ABSTRACT: Bézout's Inequality is a central result of Algebraic Geometry whose origins go back to the times of I. Newton (1642-1727) or É. Bézout (1730-1783). Mathematicians of those times were interested in solving systems of two polynomial equations in two variables. (i.e. computing the intersection points of two plane curves). They son realized that \solving" is not a clear task to be done algorithmically. They wanted emphasized descriptions of solutions which often cannot be exhibited, as we can see in the works of N. Abel or é. Galois about polynomial equations solvable by radicals. Then, they at least wanted to have control (an upper bound) of the number of solutions they have to compute. This is the reason why Bézout's Inequality became to be such an important result in Algebraic Geometry. During the XIX century and the beginning of the XX century, Elimination Theory (also known as Computational Algebraic Geometry) evolved having in mind the need of such control of the number of solutions when intersecting several algebraic varieties of any dimension. Nevertheless, until the beginning of the 80's of the past century, there were no Bézout's Inquality for general algebraic varieties. Three authors (W. Vogel, J. Heintz and W. Fulton) proposed several equalities and inequalities that belong to the class of original ideas of é. Bézout and I. Newton. In this manuscript, we will focus on performing a complete and self-contained deconstruction of Joos Heintz's Geometric Bézout Inequality for afine algebraic varieties, publised in [He, 83]. In order to do that, in first place the concept of geometric degree of an afine algebraic variety is established, from an algebraic perspective (from the degree of the extension of rational functions élds, given by a dominant marphism), and a geometric one (as the finite cardinal of a suitable intersection with linear afine varieties), through the locally closed sets of Zariski's Topology. Besides, it is also veriéd that the degree of the cartesian product equals the product of the degrees, essential result to prove Bézout's Inequality. Finally, the multiple intersection among constructible sets (finite union of locally closed sets) will be studied, considering the fact that they also fulfilled a Bézout's Inequality. A generalization of the result for algebraic algebraic varieties of J. Heintz and C. P. Schnorr (1982) will be carried out, presenting two original upper bounds for the degree of the finite intersection of constructible sets.