Geometría de los grupos de Lie

Abstract

RESUMEN: La teoría de grupos de Lie juega un papel importante en muchas áreas de las matemáticas. Un grupo de Lie es un grupo que además tiene estructura de variedad diferenciable y verifica que las operaciones de grupo son diferenciables. En este trabajo hemos estudiado las herramientas de geometría diferencial, topología y álgebra necesarias para realizar un estudio de los grupos de Lie, describiendo sus propiedades, aplicaciones al estudio de variedades diferenciables y estudiando ejemplos con detalle. Un objeto importante en el estudio de grupos de Lie es su álgebra de Lie: a cada grupo de Lie se le puede asociar un espacio vectorial de dimensión finita, formado por los campos de vectores invariantes por la izquierda, que se conoce como álgebra de Lie del grupo de Lie. Un resultado fundamental en esta teoría es que muchas propiedades de los grupos de Lie están completamente determinadas por las propiedades de su correspondiente álgebra de Lie. Se han estudiado las acciones de grupos de Lie sobre variedades diferenciables, y en particular aquellas que son transitivas que dan lugar a lo que se conocen como variedades homogéneas. Además, se definirá la aplicación exponencial de un grupo de Lie que nos permitirá establecer una correspondencia entre el álgebra de Lie y el grupo de Lie.

ABSTRACT: The theory of Lie groups plays an important role in several areas of mathematics. A Lie group is a group endowed with a structure of differentiable manifold, verifying that the group operations are smooth maps. In this work, we have dealt with concepts from diferential geometry, topology and algebra necessary to undertake a study of Lie groups, describe their properties, applications to differentiable manifolds and thoroughly present some examples. A relevant element arisen from the study of a Lie group is its Lie algebra: to each Lie group there is an associated, finite dimensional vector space, containing all the so-called left-invariant fields, and commonly known as Lie algebra of the Lie group. A fundamental result of this theory is that several properties of Lie groups are completely determined by those of their corresponding Lie algebra. We have also studied actions of Lie groups on differentiable manifolds, particularizing the case of those which are transitive and give rise to the so-called homogeneous manifolds. In addition, we have introduced the concept of exponential map of a Lie group, prior to establish a correspondence between the Lie group and its corresponding Lie algebra.