Geometría local de los conjuntos analíticos complejos

Abstract

RESUMEN: Dada una función f : C2 ! C, podemos interesarnos por la naturaleza del conjunto definido por f(z1; z2) = 0. De forma más general, si f1; f2; :::; fs son funciones definidas en un abierto del espacio complejo Cn, podemos estudiar la estructura del conjunto de ceros Z = fz 2 : fi(z) = 0 para todo i = 1; :::; sg. Si las funciones fi se pueden escribir como una serie de potencias convergente (denominadas funciones holomorfas), entonces Z es un conjunto analítico global. En el caso en que las funciones fi sean polinomios recuperamos la noción de conjunto algebraico. El objetivo de este proyecto es introducir las variedades analíticas complejas con el fin de poder considerar funciones definidas sobre variedades y generalizar aquí la noción de conjunto analítico. Después, nos interesaremos en estudiar el comportamiento local de una función o conjunto analítico global en un entorno suficientemente pequeño de un punto dando lugar a la noción de germen de función o de conjunto. Para abordar el estudio de gérmenes necesitamos introducir los anillos locales de gérmenes de funciones y sus propiedades. Existen conjuntos que localmente tienen la estructura de conjunto analítico global pero para los cuales no existen funciones que los definan globalmente, estos son los denominados subconjuntos analíticos. Nos centraremos esencialmente en estudiar propiedades locales de este tipo de conjuntos como son la irreducibilidad, regularidad/singularidad o la dimensión.

ABSTRACT: Given a function f : C2 ! C, we can be interested in the nature of set defined by f(z1; z2) = 0. In a more general way, if f1; :::; fs are functions defined in an open set of complex space Cn, we can study the structure of the set of zeros Z = fz 2 : fi(z) = 0 for every i = 1; :::; sg. If we are able to write the functions fi as a convergent power series (called holomorphic functions), then Z is an analytic global set. In the case of functions fi are polynomials we get back the notion of algebraic set. The goal of this project is to introduce the analytic complex manifolds in order to be able to consider functions defined on the manifolds and generalize in this context the notion of analytic set. After, we are interested in studying the local behavior of function or analytic global set at little enough neighborhood of a point giving rise to notion of function or set germ. We introduce the local ring of function germs because properties of germs of analytic sets can be described from the properties of this local ring. There exist sets that locally have the structure of a global analytic set although does not exist functions that define these sets globally. These sets are called analytic subsets. We focused on the local properties of these kind of sets such as irreducibility, regularity/singularity or dimension.