Estimación de longitud en curvas generadas por sumas exponenciales

Abstract

RESUMEN: La estereología es una rama interesante dentro de la probabilidad, la estadística y la geometría integral. Se puede definir como la ciencia que se encarga de estimar información sobre diferentes estructuras geométricas utilizando muestreo aleatorio y sistemático. Otra aplicación muy interesante donde aparece el muestreo es el método Quasi-Monte Carlo. Es un método muy conocido y práctico que sirve fundamentalmente para aproximar integrales utilizando los valores medios de funciones en un determinado dominio. Es decir, para aproximar la integral de una función como el promedio de la función evaluada en un conjunto de puntos. El propósito de este trabajo es probar que estos dos campos de las matemáticas que parecen muy distintos se pueden relacionar en una teoría más amplia así como resolver los mismos problemas. Para esto se han estudiado varios estimadores en función del objeto de interés que queremos estudiar, previamente propuestos en estereología. En cada caso se analizará el error de estos estimadores y aplicando resultados provenientes de métodos Quasi-Monte Carlo se podrán construir diferentes estimadores de la varianza o error de la estimación, donde se podrá observar la conexión de estos métodos. Para concluir, se realizará un caso práctico, estimando la longitud de un tipo concreto de curvas para ver que estimadores resultan más precisos a la hora de predecir el error. Todas las gráficas de las curvas y cálculos necesarios para la estimación han sido realizados con el software Sagemath.

ABSTRACT: Stereology constitutes an interesting branch of probability, statistics, and integral geometry. It can be defined as the science of estimating information of different geometric structures by using systematic random sampling. Another very interesting application of sampling is the Quasi-Monte Carlo method. It is a very well known and practical method that serves fundamentally to approximate integrals using average values of functions inside a given domain. That is, to approximate the integral of a certain function by the average of the function evaluated in a set of points. The purpose of this work is to prove that these two fields of mathematics that seem very different can be related to a broader theory and to solve the same problems as well. Several previously proposed stereological estimators have been considered depending on the object of interest that we want to study. In each case the error of these estimators will be analyzed and results coming from Quasi-Monte Carlo will be applied to construct different variance or error estimators for the samples, in which we will be able to see the connection of these methods. To conclude, a practical case has been studied to estimate the length of a particular type of curves to observe which estimators are the most precise to actually predict the error. All curve plots and calculations needed for the estimation has been developed by using the library SageMath.