Grupos de Homotopía de Orden Superior

Abstract

RESUMEN: El grupo fundamental o primer grupo de homotopía permite distinguir espacios topológicos en numerosos casos. Sin embargo, existen familias de espacios no homeomorfos entre sí con igual grupo fundamental. Para cada número natural n, el grupo de homotopía de orden n de un espacio topológico X se define a partir de las clases de homotopía de aplicaciones de la esfera de dimensión n en X. Se obtiene así una familia de grupos que permiten distinguir mejor los espacios topológicos. En este Trabajo se pretenden mostrar las principales propiedades de esta construcción, haciendo énfasis en el cálculo de grupos de homotopía de esferas de cualquier dimensión. Para ello se hará uso de herramientas como el Teorema de suspensión de Freudenthal, la fibración de Hopf y la Teoría del grado, entre otros.

ABSTRACT: The fundamental group or the first homotopy group allows us to distinguish topological spaces in numerous cases. However, there exist families of spaces which are not homeomorphic to each other with the same fundamental group. For each natural n, the nth homotopy group of a topological space X is defined as homotopy classes of continuous maps from the n-sphere onto X. In this way we obtain a family of groups that allows us to distinguish topological spaces in a wider collection of cases. In this dissertation we pretend to be intended to show the main properties of this construction, focusing on computing homotopy groups of spheres of any dimension. For that purpose we shall make use of different mathematical tools like the Freudenthal suspension theorem, the Hopf fibration and the Degree Theory, among other results.