De la Mecánica Clásica a la Geometría Simpléctica

Abstract

RESUMEN: La formulación matemática de la Mecánica Clásica constituye el origen histórico de la Geometría Simpléctica. Este trabajo pretende mostrar las formulaciones Lagrangiana y Hamiltoniana de la Mecánica y cómo éstas se formalizan matemáticamente por medio de variedades diferenciables, requiriendo del uso intensivo de los fibrados tangente y cotangente y de estructuras geométricas en ellos definidas. La generalización de estas estructuras lleva a la Geometría Simpléctica, cuyos conceptos fundamentales se desarrollarán. Por último, se mostrará la relación entre las Geometrías Simpléctica, Riemanniana y Compleja, prestando especial atención a las variedades de Kähler.

ABSTRACT: The mathematical formulation of Classical Mechanics constitutes the historical origin of Symplectic Geometry. This work will show the Lagrangian and Hamiltonian formulations of Mechanics, and how these can be formalized by means of differentiable manifolds, requiring of the extensive use of the tangent and cotangent bundles, as well as the geometric structures there defined. The generalization of these structures serves as the foundations of Symplectic Geometry, whose fundamental concepts will be developed. Finally, the relationship between Symplectic, Riemannian and Complex Geometries will be shown, with particular attention being paid to Kähler manifolds.