Problema del Cuadrado Inscrito

Abstract

RESUMEN: Existen numerosos problemas abiertos en el campo de las matemáticas. Las preguntas cotidianas que se hacen los matemáticos llevan a crear nuevos problemas cada día; su trabajo también hace que muchos encuentren solución. Algunos de ellos pasan solo un par de horas sin resolverse, mientras que los más famosos aguantan siglos. Algunos ejemplos son el último Teorema de Fermat o la conjetura de Catalán. Este trabajo de fin de grado se centra en el estudio del Problema del Cuadrado Inscrito, una conjetura matemática enunciada en 1911 por Otto Toeplitz. El problema cuestiona si es posible inscribir un cuadrado en toda curva cerrada simple en el plano. Hasta la fecha no ha sido posible afirmar el enunciado en su generalidad, pero sí se han encontrado soluciones parciales, variando las condiciones de la curva. Algunas de ellas, las más importantes, serán detalladas en este trabajo, empleándose para ello argumentos geométricos y/o topológicos. Esta conjetura también sugirió otros problemas asociados donde los polígonos a inscribir son otros, como es el caso del Problema del Rectángulo Inscrito o la inscripción de triángulos semejantes a uno dado.

ABSTRACT: There exist a lot of open problems in mathematics. The daily questions that mathematicians ask themselves lead to creating new problems every day; their work also causes some to find their solution. Not all open problems are made equal: some spend only a couple of hours without solution while the most famous endure centuries. Some examples are the Fermat's Last Theorem or the Catalan's Conjecture. This final degree paper focuses on the study of the Inscribed Square Problem, a mathematical conjecture enunciated in 1911 by Otto Toeplitz. The problem asks whether it is possible to inscribe a square in any single closed curve in the plane. So far, it has not been possible to afirm the statement in its generality, but partial solutions have been found, varying the conditions of the curve. Some of them, the most important, will be detailed in this work, using geometric or topological arguments. This conjecture also suggested other associated problems where the polygons to be inscribed are others, such as the Inscribed Rectangle Problem or the inscription of triangles similar to a given one.