Una prueba autocontenida del Nullstellenstaz efectivo de Z. Jelonek

Abstract

RESUMEN: El Nullstellensatz de Hilbert (Teorema de los Ceros) es uno de los teoremas más importantes en la historia de las matemáticas, no solo porque establece una relación fundamental entre geometría y álgebra, sino porque también está involucrado en problemas algorítmicos. Normalmente las pruebas del Nullstellensatz no son constructivas, y no proporcionan un método para calcular los polinomios multivariables del Nullstellensatz. Para solucionarlo, es suficiente con dar una cota superior a los grados de los polinomios en la Identidad de Bézout, y el problema se reduce a un sistema de ecuaciones lineales. Los resultados que proporcionan cotas superiores son los llamados Nullstellensätze Efectivos. El objetivo de esta memoria es dar una prueba autocontenida de la mejor cota hasta la fecha, lograda por Z. Jelonek en 2005 (cf. [Je, 2005]). Esto implica comprender un paper publicado en una de las diez mejores revistas matemáticas del mundo. Además, esta memoria no solo ha completado algunos resultados no detallados en el paper de Jelonek, sino que también proporciona una prueba original. Para lograrlo, primero generalizamos el teorema de Perron y probamos el resultado para el caso subdeterminado (Capítulo 1). Después, probamos el teorema de Eliminación de Jelonek de forma original, y por último obtenemos el Nullstellensatz Efectivo (Capítulo 2).

ABSTRACT: Hilbert's Nullstellensatz (Zero-locus-theorem) is one of the most important theorems of mathematics history, and it not only establishes a fundamental relationship between geometry and algebra but also is involved in algorithmic problems too. The usual proofs of the Nullstellensatz are not constructive, and they do not give any way to compute the multivariable polynomials related to the Nullstellensatz. To solve this problem, it suffices to provide an upper bound of the degrees of the polynomials in the Bézout's identity, and the problem is reduced to a finite system of linear equations. The results that provide upper bounds of the degrees are called Effective Nullstellensätze. The objective of this memory is to give a self-contained proof of the best bound up to date, achieved by Z. Jelonek in 2005 (cf. [Je, 2005]). This implies the undersanding of a paper publishied in one of the top ten mathematics magazines, Inventions mathematicae. Futhermore, this memory has not only completed some undetailed results of Jelonek's paper but also gives an original proof. In order to do that, we first generalize Perron's theorem and we prove the result for the overdeterminated case (Chapter 1). Then, we prove Jelonek's Elimination Theorem in an original way and we finally obtained the Effective Nullstellensatz (Chapter 2)