Homología. Desde sus fundamentos hasta el análisis topológico de datos

Abstract

RESUMEN: El análisis topológico de datos es una disciplina formada por el conjunto de técnicas topológicas que se pueden utilizar para abstraer o extraer información de un conjunto grande de datos. El método que se expone en este trabajo es el de la homología persistente, método que estudia cómo evolucionan los grupos de homología de una filtración. Los fundamentos teóricos de esta disciplina están basados principalmente en la homología, por lo que ésta será nuestro principal objeto de estudio en este trabajo. Vamos a hablar de tres tipos de homología: simplicial, singular y celular; y probaremos diversas propiedades de cada tipo para ver que, en los casos en que las tres se pueden aplicar, las tres teorías de homología son en realidad la misma. También hablaremos de teoría de Morse, ya que es el nexo que une, en cierto contexto, la homología con la homología persistente. Para terminar, se formalizarán los conceptos básicos de homología persistente y se dará una intuición de cómo se trabaja con esos conceptos en casos más generales.

ABSTRACT: Topological data analysis is a subject consisting of the set of topological procedures that can be used to infer topological features from a big data set. The procedure showed in this bachelor thesis is persistent homology. This method studies the evolution of the homology groups of a filtration. The theorical foundations of this subject come mainly from homology theory, and for this reason homology theory will be our main focus throughout this bachelor thesis. We will study three kinds of homology: simplicial, singular and cellular; and we will proof diverse properties of each type, such us the isomorphism among those three for spaces where the three can be defined. We will also study some Morse theory because it serves as a nexus between homology and persistent homology, in a certain context. Last but not least, we will formalise the basic concepts of persistent homology and we will give a general idea of how these concepts work in some contexts