El Teorema g para politopos

Abstract

RESUMEN: El f -vector de un d-politopo P es un vector (f−1, f0, . . . , fd−1) con f−1 = 1 y fi es el número de caras i-dimensionales de P para i ≥ 0. The f -vector of a d-polytope P is a vector (f−1, f0, . . . , fd−1) where f−1 = 1 and fi is the number of i-dimensional faces of P . En 1971, Peter McMullen conjeturó una caracterización de los vectores de Nd que son el f -vector de algún d-politopo simplicial, conocida como la Conjetura g. Diez años después, apareció la primera prueba de esta Conjetura: la necesidad de las condiciones, debida a Richard P. Stanley, en 1980, y la suficiencia, debida a Louis J. Billera y Carl W. Lee, en 1981. Mientras la segunda está basada en convexidad, la primera depende de algunos resultados fuertes de geometría algebraica: en particular, el Teorema Duro de Lefschetz para variedades tóricas. En los años siguientes, McMullen comenzó a publicar artículos sobre su álgebra de politopos, obteniendo entre 1983 y 1986 una nueva prueba de la necesidad de las condiciones, interpretando el Teorema Duro de Lefschetz de forma algebro-combinatoria. Más recientemente, en 2010, Balin Fleming y Kalle Karu publicaron otra prueba más de este resultado, imitando en cierto modo la prueba de McMullen en el contexto del álgebra de funciones continuas polinomiales por conos en el abanico normal de un politopo simple; aunque la idea de la prueba es la misma que la de McMullen, es mucho más directa. Este Trabajo de Fin de Máster está dedicado al estudio de la prueba del Teorema g para politopos, analizando el álgebra de politopos definida por McMullen, relacionándola con el álgebra de funciones continuas polinomiales por conos en un abanico simplicial, y finalmente replicando la prueba en este último contexto.

ABSTRACT: The f -vector of a d-polytope P is a vector (f−1, f0, . . . , fd−1) where f−1 = 1 and fi is the number of i-dimensional faces of P for i ≥ 0. In 1971, Peter McMullen conjectured a characterization of the vectors in Nd which are the f -vectors of some simplicial d-polytope, known as the g Conjecture. Ten years later, the first proof of this Conjecture appeared: the necessity of the conditions, due to Richard P. Stanley, in 1980, and the sufficiency, due to Louis J. Billera and Carl W. Lee, in 1981. While the latter is strongly based on convexity, the former relays on some strong results from algebraic geometry: namely, the Hard Lefschetz Theorem for toric varieties. In the following years, McMullen began to publish different articles about his polytope algebra, obtaining between 1983 and 1986 a new proof of the necessity of the conditions, interpreting the Hard Lefschetz Theorem in an algebro-combinatorial manner. More recently, in 2010, Balin Fleming and Kalle Karu published yet another proof of this result, somehow mimicking McMullen’s proof within the algebra of continuous conewise polynomial functions on the normal fan of a simple polytope; although the idea of the proof is the same as McMullen’s, it is much more straightforward. This Master’s Thesis is devoted to the study of the proof of the g Theorem for polytopes, analysing the polytope algebra as defined by McMullen, relating it to the algebra of continuous conewise polynomial functions on simplicial fans, and finally replicating the proof in this last context.