Los teoremas de Gauss-Bonnet

Abstract

RESUMEN: La versión local del teorema de Gauss-Bonnet para superficies muestra la conexión entre la curvatura de Gauss en la región encerrada por una curva, la curvatura geodésica del borde de la región y sus ángulos. A partir de este teorema se puede enunciar una versión global para superficies compactas, que relaciona la curvatura de Gauss de la superficie con su característica de Euler, un concepto topológico. Este trabajo aborda la demostración de estos dos teoremas, para lo cual será necesario utilizar principalmente herramientas propias de la geometría diferencial. Este teorema se conectará con el teorema de Poincaré-Hopf, el cual relaciona el concepto de índice de un campo vectorial tangente a la superficie en un cero aislado con su característica de Euler. También se estudiará la relación existente entre la característica de Euler y las funciones de Morse. Finalmente se comentarán algunas consecuencias de este teorema. Entre ellas destaca el teorema de los defectos angulares de Descartes, que se podría considerar una versión límite del teorema de Gauss-Bonnet.

ABSTRACT: The local version of the Gauss-Bonnet theorem for surfaces shows the connection between the Gauss curvature in the region bounded by a curve, the geodesic curvature of the boundary of the region and its angles. From this theorem, it can be stated a global version for compact surfaces, that links the Gauss curvature in the Surface with its Euler characteristic, a topological concept. This dissertation tackles the proof of these two theorems, for which it will be necessary to use tools mostly from differential geometry. This theorem will be connected with the Poincaré-Hopf theorem, that relates the concept of index of a tangent vector field at an isolated zero with the Euler characteristic of the surface. It will alse be examined the relation between the Euler characteristic and Morse functions. Finally some consequences of this theorem will be discussed. Among them the Descartes theorem on total angular defect stands out, which could be considered a limit version of Gauss-Bonnet theorem.