El teorema de Riemann-Hurwitz

Abstract

RESUMEN: En este trabajo se estudia el teorema o fórmula de Riemann-Hurwitz desde dos puntos de vista. Por un lado se define la noción de género de una curva algebraica en el plano proyectivo a partir de la desigualdad de Riemann, que relaciona el grado de cualquier divisor D del cuerpo de funciones racionales de la curva con la dimensión de su espacio L(D) correspondiente. El teorema de Riemann-Hurwitz relaciona los géneros de dos curvas proyectivas planas no singulares entre las que existe un morfismo, a través de sus índices de ramificación y su grado. Paralelamente, se estudian las aplicaciones holomorfas entre superficies de Riemann y, haciendo uso de la definición topológica de género, se ha demostrado el teorema de Riemann-Hurwitz utilizando los conceptos de grado e índice de ramificación de la aplicación holomorfa entre dos superficies de Riemann compactas. Finalmente se comprueba que las curvas algebraicas no singulares en el plano proyectivo complejo son superficies de Riemann y las nociones de género algebraico y topológico coinciden.

ABSTRACT: In this dissertation Riemann-Hurwitz theorem is studied from two different points of view. On the one hand, the genus of an algebraic projective plane curve is defined in terms of Riemann's inequality, which connects the degree of any divisor over the field of rational functions of the curve with the dimension of its linear space L(D). Riemann-Hurwitz theorem relates the genus of two non singular plane projective curves through the degree and ramification index of the morphism bewteen both of them. On the other hand, we study the concept of ramification over holomorphic functions between Riemann surfaces, which enables the proof of the Riemann-Hurwitz theorem using the topological definition of genus. Finally, it is proved that algebraic complex projective non singular plane curves are Riemann surfaces. Furthermore, both the algebraic and topological definitions of genus are equivalent.