Geometría hiperbólica, teselaciones de Farey y fracciones continuas

Abstract

RESUMEN: En este trabajo se introduce una aproximación geométrica a la expresión en fracciones continuas de un número real. Comenzaremos introduciendo algunas nociones básicas de geometría para aplicarlas después a la descripción del modelo del semiplano de Poincaré del plano hiperbólico. Es en el plano hiperbólico donde se construye la teselación de Farey, formada por triángulos ideales, es decir, que tienen como vértices puntos del infinito. También se explicará cómo se expresa un número real en fracciones continuas y se estudiará su relación con la teselación de Farey, mostrando finalmente un método gráfico para el cálculo de la expresión en fracciones continuas mediante el uso de geodésicas.

ABSTRACT: In this bachelor thesis, we introduce a geometric approximation of the expression of real numbers in continued fractions. Basic geometric ideas are first introduced so that they can be applied to the description of the Poincaré half-plane model of the hyperbolic plane. The Farey tesselation consists on a regular tiling of the hyperbolic plane made of ideal triangles, whose vertices lay on the points at infinity. We also explain how to express a number in continued fractions and its relation with the Farey tesselation, showing a graphical method to calculate this expression tracing geodesics.