Sobre los coeficientes de los polinomios ciclotómicos

Abstract

RESUMEN: Para cada n, el conjunto de raíces sobre Q del polinomio xn-1 es un grupo cíclico multiplicativo de orden n. Los φ(n) generadores de este grupo, donde φ es la función de Euler, se llaman raíces n-simas primitivas de la unidad, y el polinomio mónico de menor grado que se anula en ellas es el n-simo polinomio ciclotómico, denotado por gn(x). Siempre que n < 105, los coeficientes de gn(x) toman valores en {-1; 0; 1}. Este hecho motivó que los coeficientes de dichos polinomios fueran objeto de investigaciones que continúan hasta el día de hoy; actualmente se sabe que esto ocurre cuando n sea producto de dos primos impares distintos. Por otro lado, desde que Schur probó en 1931 que existen coeficientes de polinomios ciclotómicos de magnitud arbitrariamente grande, son de interés los resultados que acotan los coeficientes en casos particulares. En el siguiente trabajo se expondrán y demostrarán algunos de estos resultados.

ABSTRACT: For each n, the set of roots over Q of the polynomial xn - 1 is a multiplicative cyclic group of order n. The φ(n) generators of this group, where φ is Euler's totient function, are called primitive nth roots of unity, and the monic polynomial of smallest degree that vanishes at each of these elements is the nth cyclotomic polynomial, denoted by gn(x). Whenever n < 105, the coeficients of gn(x) belong to f-1; 0; 1g. This fact encouraged the study of the coeficients of these polynomials, which continues to this day; nowadays it is known that the coeficients of gn(x) belong to that set if n is product of two odd primes. Furthermore, since Schur proved in 1931 that there exist coeficients of cyclotomic polynomials arbitrarily large, it has also been a topic of interest to bound the size of the coeficients in particular cases. In this article we aim to expose and prove some of these results.