La variedad grassmanniana

Abstract

RESUMEN: En este trabajo introduciremos la variedad de Grassmann o Grassmanniana y la veremos desde distintos puntos de vista de las Matemáticas. La Grassmanniana se define como el conjunto de subespacios vectoriales de dimensión k de un espacio vectorial de dimensión n. Admite estructura de variedad diferenciable compacta y conexa de dimensión k(n - k). Es además un espacio homogéneo, es decir, es cociente de un grupo de Lie sobre un subgrupo de Lie cerrado. Es un objeto matemático muy rico en propiedades topológicas, geométricas y algebraicas. Además, se presentan las principales propiedades de esta variedad, tanto en el caso real como en el complejo, incluyendo su relación con la variedad de Stiefel y con el espacio proyectivo. Y por último se usa el embebimiento de Plücker para ver a la variedad Grassmanniana como conjunto algebraico.

ABSTRACT: In this work we will introduce the Grassmannian manifold or Grassmannian and will see it from the different points of view of Mathematics. The Grassmannian is defined as the set of vector subspaces of dimension k of a vector space of dimension n. It is a compact and connected smooth manifold of dimensión k(n - k). It is also a homogeneous space, i.e. it is the quotient of a Lie group over a closed Lie subgroup. It is a mathematical objet with a lot of topological, geometric and algebric properties. In addition, we present the main properties of this variety, both in the real case and in the complex case, including its relationship with the Stiefel variety and with the projective space. And finally, Plücker's embedding is used to see the Grassmannian variety as an algebraic set.