Índices de campos de vectores y Teorema de Poincaré-Hopf

Abstract

RESUMEN: En este trabajo se ha estudiado la relación existente entre funciones –campos vectoriales tangentes- definidos sobre variedades diferenciables y la topología de las mismas a través del Teorema de Poincaré-Hopf el cual relaciona un invariante topológico global de una variedad compacta M como es su característica de Euler con un invariante local como es el índice de un campo de vectores tangente en una singularidad. Más concretamente el Teorema estipula que la suma de los índices de un campo vectorial con un número fínito de singularidades aisladas es igual a la característica de Euler de la variedad donde se encuentra definido. Para poder demostrar en detalle el anterior resultado se ha introducido la teoría básica de variedades diferenciables, seguidamente se han estudiado en profundidad los campos vectoriales tangentes y se han dado dos visiones diferentes pero equivalentes del índice usando técnicas distintas. Por último, a partir de la teoría de homología simplicial se ha definido la característica de Euler de una variedad compacta.

ABSTRACT: In this work we have studied the relationship between mappings -tangent vector fields- defined on a differentiable manifold and its topology through the study of Poincaré-Hopf Theorem which relates a topological global invariant of a compact manifold M, the Euler characteristic, with a local invariant, the index of a singularity. More concretely, the Theorem states that the sum of the indices of any tangent vector field with finitely many isolated zeros defined on a manifold equals its Euler characteristic. In order to give a complete proof of the previous result, we have introduced the basic theory related with differentiable manifolds. Afterwords, we have deeply studied tangent vector fields, and two different approaches of índices using different techniques have been given. Lastly, using simplical homology theory we have defined the Euler characteristic of a compact manifold.