La fórmula de la coárea

Abstract

RESUMEN: La fórmula de la coárea fue inicialmente introducida por Federer [5]. En este trabajo discutiremos su demostración y algunas de sus aplicaciones en el contexto de la geometría riemanniana. Sea 𝑓�� ∶ 𝑀�� → 𝑁�� es una función diferenciable sobreyectiva sobre entre variedades riemannianas. La fórmula de la coárea permite relacionar la integral de una función en 𝑀�� con una integral doble en 𝑁�� y en las fibras de 𝑓��. Dicha fórmula generaliza la fórmula de cambio de variable y el teorema de Fubini, y permite calcular fácilmente diversas integrales. Este trabajo está dividido en tres secciones. En la primera, exponemos la teoría de integración en variedades diferenciables. Esto nos requerirá enunciar los resultados y definiciones básicos de geometría diferencial y teoría de la medida. La segunda sección está dedicada al enunciado y demostración de la fórmula de la coárea. En la última sección, calcularemos diversas integrales valiéndonos de dicha fórmula. Aunque trabajaremos con variedades riemannianas abstractas, la fórmula de la coárea originalmente se enunció para subconjuntos de ℝ𝑛��. El trabajo cuenta con un apéndice en el que se discute la fórmula en este contexto. Palabras clave: Geometría diferencial, Variedades riemannianas, Integración en variedades, Fórmula de la coárea.

ABSTRACT: The coarea formula was initially introduced by Federer [5]. In this dissertation we discuss su its proof and some of its applications in the context of Riemannian geometry. Let 𝑓� ∶ 𝑀� → 𝑁� be a surjective map between Riemannian manifolds. The coarea formula relates the intergral of a real function in 𝑀� with a double integral in 𝑁� y and in the fibres of 𝑓�. This formula generalices the change of variables formula and Fubini’s theorem, allowing us to easily compute several integrals. This dissertation is divided in three sections. In the first one, we explain the theory of integration on differentiable manifolds. This will require us to state some basic results and definitions in measure theory and differential geometry. The second section is committed to the statement and proof of the coarea formula. In the last section, we will compute some integrals using the aforementioned formula. Although we work in abstract Riemannian manifolds, the coarea formula was originally stated for subsets of ℝ𝑛�. In the first appendix, we explain the formula in that context.