Caos en sistemas dinámicos discretos

Abstract

RESUMEN: La teoría del caos es una rama de las matemáticas que estudia sistemas dinámicos con unas características muy especiales. A pesar de que están dados por ecuaciones deterministas su comportamiento no se puede predecir a largo plazo porque cambios muy pequeños en las condiciones iniciales hacen que sus soluciones (inicialmente muy próximas) diverjan al cabo de cierto tiempo, aunque sin salirse nunca de un determinado rango de valores. Su estudio comenzó con el artículo \Deterministic nonperiodic flow", escrito por E. Lorenz en 1963. A día de hoy continúa siendo un campo de investigación abierto, con aplicaciones interesantes a otras ramas de la ciencia. En este trabajo nos vamos a centrar en sistemas dinámicos discretos que presentan comportamiento caótico. En primer lugar daremos dos definiciones de función caótica: la dada por Li y Yorke en 1975 y posteriormente la formulada por Devaney en 1989. A continuación enunciaremos y demostraremos el famoso teorema \Periodo tres implica caos", probado por Li y Yorke en 1975. Se trata de un resultado fundamental en el estudio del caos y es de gran utilidad a la hora de determinar si una función presenta comportamiento caótico. Después pasaremos a estudiar dos sistemas caóticos discretos clásicos: la ecuación logística y el \tent map". Por último veremos que sorprendentemente existen técnicas para controlar ciertos sistemas caóticos, lo cual tiene aplicaciones útiles en otras ramas de la ciencia, y presentaremos uno de ellas mediante un ejemplo.

ABSTRACT: Chaos theory is a branch of mathematics that studies dynamic systems with some very special characteristics. Although they are given by deterministic equations their behavior can not be predicted at long term, because very small changes in the initial conditions make that the solutions (initially very close) diverge after a certain time, although they never leave a certain range of values. His study began with the paper \Deterministic nonperiodic flow"written by E.Lorenz in 1963. Nowadays, it continues to be an open field of research with interesting applications to other branches of science. In this work we will focus on discrete dynamical systems with chaotic behavior. First we will give two definitions of chaotic function: the one given by Li and Yorke in 1975 and later the one formulated by Devaney in 1989. Next, we will state and demonstrate the famous theorem \Period three implies chaos", proved by Li and Yorke in 1975. It is a fundamental result in the study of chaos and is very useful in determining whether a function exhibits chaotic behavior. Then we will study two classical discrete chaotic systems: the logistic equation and the tent map. Finally we will see that surprisingly there are techniques to control some chaotic systems, which has useful applications in other branches of science, and we will introduce one example of them.